Metode Numerik

 

Metode Numerik

Metode Numerik

            Metode numerik merupakan teknik-teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematis agar mereka dapat dipecahakan dengan operasi perhitungan. Walaupun terdapat berbagai macam metode numerik, tetapi ada satu kesamaan ciri. Semua metode numerik mencakup sejumlah besar perhitungan yang membosankan. Tidak mengherankan bahwa dengan perkembangan komputer digital yang cepat dan dan semakin powerful, peranan metode numerik dalam pemecahan masalah rekayasa telah meningkat secara dramatis dalam bertahun-tahun belakangan ini.  (hlm:1)

            Metode numerik menggabungkan dua komponen terpenting dalam panggung teknik, yaitu matematika dan komputer. Sebenarnya, metode numerik secara kasar dapat disebut sebagai matematika komputer. Keterampilan memprogram komputer akan mempermudah studi tentang metode numerik. (hlm:20)

Ada beberapa alasan mengapa harus mempelajari metode numerik, yaitu :

1.    Metode numerik menyediakan suatu sarana bagi anda untuk memperkuat pengertian matematika, karena salah satu kegunaan metode numerik adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi-operasi matematika yang mendasar, metode-metode numerik langsunng menangani seluk-beluk beberapa topik lain yang sebelumnya kurang jelas. Dari perspektif alternatif ini dapat dihasilkan pengertian dan wawasan yang lebih sempurna.

     (hlm:1-3)

2.    Metode numerik adalah alat pemecahan masalah yang sangat ampuh. Metode numerik dapat manangani sistem persamaan besar, ketaklinearan dan geometri yang rumit yang lazim dalam praktek rekayasa dan yang seringkali musthail dipecahkan secara analitis. Dengan demikian, metode numerik sangat meningkatkan kemampuan manusia dalam memecahkan masalah.

3.    Metode numerik merupakan sarana yang efisien untuk memahami lebih dalam pemakaian komputer pribadi.

4.    Jika telah sering dan terbiasa dengan metode numerik dan mahir dalam pemograman komputer maka akan mampu merancang program sendiri untuk memecahkan masalahnya tanpa harus membeli perangkat lunak yang mahal ataupun menggunakan program bajakan penuh dosa.

Metode numerik adalah teknik penyelesaian permsalahan yang diformulasikan secara matematis menggunakan operasi hitungan (aritmatik) yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi serta pendekatan untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. Metode ini digunakan karena banyak permasalahan matematis tidak dapat diselesaikan menggunakan metode analitik. Jikapun terdapat penyelesaiannya secara analitik, proses penyelesaiaannya sering kali cukup rumit dan memakan banyak waktu sehingga tidak efisien.

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan yang terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa.

contoh nya adalah integral berikut :

Integral di atas terlihat tidak terlalu panjang, tetapi untuk menyelesaikan integral tersebut bukan permasalahan yang mudah bahkan dapat dikatakan tidak mungkin. Tetapi bukan berarti integral tersebut tidak mempunyai penyelesaian, hanya saja menyelesaikan integral semacam itu sangat sulit dan kalaupun bisa memerlukan pengetahuan matematis yang tinggi dan waktu yang cukup lama. Padahal integral di atas adalah bentuk integral yang banyak digunakan dalam bidang teknik, khususnya pada analisa sinyal yang melibatkan sinyal frekwensi, filtering dan optimasi pola radiasi.

Kurva seperti Gambar 1 akan visualisasi dengan baik dengan pengusaan perhitungan secara numerik. Gambar yang dihasilkan akan dapat diinterprestasikan dengan apabila angka diberikan dibuat rigid atau mendekati nilai analog.

 

Berdasarkan kenyataan dapat dikatakan bahwa untuk menyajikan fenomena yang dimodelkan diperlukan suatu metode tertentu yang dapat digunakan untuk menghitungnya, seperti perhitungan integral atau diferensial. Walaupun metode ini tidak dapat menghasilkan nilai yang exact (tepat), setidak-tidaknya sudah mendekati nilai yang diharapkan. 

Posisi dan kedudukan metode numerik dibanding dengan metode perhitungan biasa (analitik) dan metode lainnya dirangkum sebagai berikut:
1. Metode Analitik : digunakan dalam menyelesaikan permasalahan yang sederhana atau ada teorema analisa matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.
2. Metode Numerik : digunakan jika permasalahan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaikan secara analitik.
3. Metode Simulasi : jika persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas tinggi, sehingga metode numerik pun tidak dapat menyajikan penyelesaian dengan baik.

Pendekatan dan Kesalahan Metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secara analitik tidak dapat atau sangat sulit digunakan. Metode numerik berangkat dari pemikiran bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan-pendekatan yang dapat dipertanggung-jawabkan secara analitik.

Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritmaalgoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Mengingat bahwa algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan.

Dengan kata lain perhitungan dalam metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus diperoleh hasil yang main mendekati nilai penyelesaian eksak. Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, maka setiap nilai hasil perhitungan kemungkinan mempunyai nilai error (nilai kesalahan).

Dalam analisa metode numerik, kesalahan ini menjadi penting artinya, karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan yang menghasilkan nilai kesalahan yang besar tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode analitik dengan metode numerik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang terjadi.

Faktor-faktor yang menyebabkan kesalahan pada metode numerik antara lain:

1. Bawaan data: Kesalahan ini muncul akibat adanya kekeliruan dalam memberikan data dan kesalahan dalam mengambil asumsi terhadap data. 

2. Pembulatan (rounding): Kesalahan ini terjadi akibat penentuan jumlah angka di belakang koma.
Contoh : bilangan 0.6123467 sebanyak 7 digit, menjadi 0.612347 sebanyak 6 digit karena pembatasan alokasi digit bilangan.
3. Pemotongan (chopping): Kesalahan oleh proses ini timbul pada angka pecahan, yang nilai diambil sebagai angka pecahan yang dinormalisir. Contoh : 0.6666666... menjadi 0.66. 

Dalam bilangan berbentuk pecahan dikenal suatu istilah Angka signifikan, yang merupakan angka-angka yang terdapat dalam bilangan pecahan yang berpengaruh dalam perhitungan.

 Angka signifikan tersebut adalah: 

1. Merupakan angka 1 s/d 9. 

2. Angka 0 dibelakang koma sebelum ada angka 1 s/d 9 di abaikan. Contoh: 0.0005813 memiliki 4(empat) angka signifikan, sedangkan 0.700124 mempunyai 6(enam) angka signifikan. 

Kesalahan Mutlak (Absolut) Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran, atau perhitungan adalah perbedaan numerik nilai sesungguhnya terhadap nilai pendekatan yang diberikan, atau yang diperoleh dari hasil perhitungan atau pengukuran. Rumus:

Terdapat keuntungan dan kerugian terkait penggunaan metode numerik. Keuntungan dari metode ini antara lain:

1.      Dapat mensimulasikan hasil perhitungan sehingga menjadi lebih ringkas dan enak dilihat

2.      Solusi dari masalah selalu dapat diperoleh.

3.      Dengan bantuan komputer, perhitungan dapat dilakukan sangat cepat serta hasil yang diperoleh dapat dibuat semirip mungkin dengan nilai sesungguhnya.

Adapun kelemahan metode ini antara lain:

1.      Nilai yang diperoleh berupa pendekatan atau hampiran.

2.      Tanpa bantuan komputer, proses perhitungan akan berlangsung lama dan berulang-ulang.

Perbedaan antara metode numerik dan metode analitik dapat dijelaskan sebagai berikut:

1.      Solusi metode numerik selalu berbentuk angka, sedangkan solusi metode analitik dapat berbentuk fungsi matematik yang selanjutnya dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka.

2.      Solusi dari metode numerik berupa hampiran, sedangkan metode analitik berupa solusi sejati. Kondisi ini berakibat pada nilai error metode analitik adalah 0, sedangkan metode numerik ≠0≠0.

3.      Metode analitik cocok untuk permasalahan dengan model terbatas dan sederhana, sedangkan metode numerik cocok dengan semua jenis permasalahan.

Tahapan Penyelesaian Menggunakan Metode Numerik

Terdapat beberapa tahapan dalam menyelesaikan suatu permasalahan dengan metode numerik. Tahapan-tahapan tersebut antara lain:

·         Pemodelan

Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan matematika. Persamaan matematika yang terbentuk dapat berupa persamaan linier, non-linier, dan sebagainya sesuai dengan persoalan yang dihadapi.

·         Penyederhanaan Model

Model matematika yang dihasilkan dari tahap 1 mungkin saja terlalu rumit dan kompleks. Semakin kompleks suatu model, semakin sulit penyelesaiaannya, sehingga model perlu disederhanakan.

Seberapa sederhana model yang akan kita buat? tergantung pada permasalahan apa yang akan kita selesaikan. Model yang terlalu sederhana akan tidak cocok digunakan untuk digunakan sebagai pendekatan sistem nyata atau lingkungan yang begitu kompleks. Penyederhanaan dapat berupa asumsi sejumlah variabel yang terlibat tidak signifikan, atau asumsi kondisi reaktor (steady atau non-steady).

·         Formulasi Numerik

Setelah model matematika sederhana didapat, langkah selanjutnya adalah memformulasikan model matematika secara numerik. langkah ini terdiri atas:

+ menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan analisis error awal.

+ menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.

·         Pemrograman

Tahap selanjutnya adalah mengubah  algoritma ke dalam program komputer. Pada langkah ini kita bisa memilih bahasa pemrograman yang kita  kuasai.

·         Operasional

Sebelum digunakan dengan data sesungguhnya, program komputer perlu di uji dengan data simulasi dan dievaluasi hasilnya. jika hasil keluaran diyakini sudah sesuai, baru dioperasikan dengan data yang sesungguhnya.

·         Evaluasi

Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka selanjutnya dilakukan interpretasi terhadap hasil yang, meliputi analisis hasil output dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empriik untuk menaksir kualitas soluasi numerik termasuk keputusan untuk menjalankan kembali progrma dengan memperoleh hasil yang lebih baik.

 

Akurasi dan Presisi

Perhatikan Gambar  berikut:

Pada Gambar terdapat 4 buah kondisi ketika kita menembakkan beberapa peluru pada sebuah sasaran. Tujuan kita disini adalah untuk menembak bagian tengah sasaran tersebut.

Pada Gambar (a) dan (c) pada Gambar merupakan gambar yang menunjukkan seseorang telah berhasil mengenai bagian tengah sasaran tersebut dapat kita katakan pula tembakan pada kedua gambar tersebut akurat. Akurat dalam hal ini dapat diartikan suatu kondisi dimana kedekatan lubang peluru dengan pusat sasaran. Secara umum akurasi diartikan sebagai tingkat kedekatan pengukuran kuantitas terhadap nilai sebenarnya.

Terdapat dua buah cara untuk mengukur akurasi. Metode pengukuran akurasi antara lain: error absolut dan error relatif.

Error absolut merupakan nilai absolut dari selisih antara nilai sebenarnya xx dengan nilai observasi x′x′. Error absolut dapat dituliskan menggunakan Persamaan 

 

ϵA=∣x−x′∣

 

Pengukuran lain yang sering digunakan untuk mengukur akurasi adalah error relatif. Berbeda dengan error absolut, error relatif membagi selisih antara nilai sebenarnya xx dan nilai observasi x′x′ dengan nilai sebenarnya. Hasil yang diperoleh merupakan nilai tanpa satuan. Persamaan error relatif disajikan pada Persamaan

 

ϵR=

 

Dalam suatu pengukuran, hal lain yang perlu diperhatikan selain akurasi adalah presisi. Presisi adalah sejauh mana pengulangan pengukuran dalam kondisi yang tidak berubah mendapat hasil yang sama. Gambar (a) dan (b) menunjukkan kepresisian yang tinggi. Hal ini terlihat dari jarak antara lubang peluru yang saling berdekatan dan mengelompok.

Berdasarkan Gambar tersebut dapat kita simpulkan bahwa dalam suatu sistem pengukuran akan terdapat 4 buah kondisi. Pengukuran akurat dan presisi (Gambar (a)), tidak akurat namun presisi (Gambar (b)), akurat namun tidak presisi (Gambar (c)), dan tidak akurat serta tidak presisi (Gambar (d)).

Dari kondisi-kondisi tersebut, akan muncul yang dinamakan error. Dalam analisa numerik error atau kesalahan menjadi hal yang perlu diperhatikan.

Error Numerik

Kesalahan numerik merupakan error atau kesalahan yang timbul akibat adanya proses pendekatan atau hampiran. Ada 3 penyebab kesalahan numerik, antara lain:

·         Kesalahan bawaan (inherent error), merupakan kesalahan data yang timbul akibat adanya pengkuran, human error seperti kesalahan pencatatan, atau tidak memahami hukum-hukum fisik dari data yang diukur.

·         Kesalahan pembulatan (round-off error), adalah kesalahan yang terjadi karena adanya pembulatan. Contoh: 3,142857143… menjadi 3,14.

·         Kesalahan pemotongan (truncation error), adalah kesalahan yang ditimbulkan pada saat dilakukan pengurangan jumlah angka signifikan.

Referensi

1.      Howard, J.P. 2017. Computational Methods for Numerical Analysis with R. CRC Press.

2.      Sidiq, M. Tanpa Tahun. Materi Kuliah Metode Numerik. Repository Universitas Dian Nuswantoro.

3.      Subakti, I. 2006. Metode Numerik. Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

4.      Sutarno,H., Rachmatin,D. 2008. Hands Out Metode Numerik. Universitas Pendidikan Indonesia.